Estructuras lógico-matemáticas

1.       Conjuntos

Un conjunto está formado por objetos materiales o abstractos, todos distintos, a los que llamaremos elementos o elementos pertenecientes al conjunto.

La inclusión.

Dados dos conjuntos A y B, diremos que A está contenido o incluido en B, o que es una parte o subconjunto de B, si todos los elementos de A pertenecen también al conjunto B.

Determinación de un conjunto.

Hay dos modos o métodos para determinar o definir conjuntos:

·         1 Por extensión: consiste en enunciar todos sus elementos.

·         2 Por comprensión: consiste en enunciar una propiedad p que cumplen o poseen todos sus elementos y solo ellos.

2.       Operaciones con conjuntos

Unión.

Se llama unión de los conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.

Intersección.

Se llama intersección de los conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

El complementario.

Se llama complementario de A, con respecto al universo U, al conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.

Ejemplo: el complementario de los números pares, los impares.

3.       Aplicaciones.

•  Una aplicación se dice que es inyectiva cuando no haya elementos distintos de A con la misma imagen en B. (Si a ninguno del segundo conjunto le llegan dos flechas).
• Una aplicación se dice que es epiyectiva o sobreyectiva cuando ningún elemento de B se quede sin ser imagen de algún elemento de A. (Todos los del segundo conjunto provienen de alguno del primero).
•  Una aplicación se dice que es biyectiva, o que es una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos, cuando sea a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: En el supermercado, la aplicación que asigna a cada artículo a la venta su precio no es inyectiva en general, ya que puede haber artículos distintos con el mismo precio.

Ejemplo de función biyectiva: los niños y sus mochilas. Todos los niños tienen su mochila, ninguno tiene dos mochilas iguales.

4. Desarrollo de la estructura operatoria de clasificación.

Por su importancia en el tema, destacamos los siguientes tipos:

• Dicotomía: clasificar en dos grupos. Por ejemplo, piezas azules y piezas no azules.
• Tricotomía: clasificar en tres grupos. Por ejemplo, animales que nadan, animales que vuelan, animales que andan.
• Clasificación jerarquizada; hacer muchos grupos y dentro de los grupos, subgrupos. Por ejemplo en una clase hay mesas, sillas, enchufes y pueden haber mesas redondas o cuadradas.